Estimación por intervalos

La estimacion por intervalos es una mejor aproximación al parámetro poblacional que se quiere estudiar.

Devuelve un rango de valores con un grado de certeza de que contenga el parámetro poblacional estimado.

Si consideramos una variable aleatoria definida por un parámetro \(\theta\), \(L_{1}\) y \(L_{2}\) definen el intervalo de confinanza para \(\theta\) con un nivel de confianza \((1-\alpha)·100\%\) si:

  1. \(L_{1} < L_{2}\)
  2. \(P(L_{1} \le \theta \le L_{2}) = 1 - \alpha\)

Intervalos de confianza para la media poblacional

Si consideramos una variable aleatoria de distribución normal \(N(\mu, \sigma)\), la desviación estándar sería \(\sigma/\sqrt{n}\); a medida que \(n\) aumenta, también lo hace la precisión de la estimación de \(\hat{X}\).

En el caso de las variables binomiales, la desviación estándar se calcula de la siguiente manera:

\[ \sigma = p\times(1-p) \]

Los valores z identifican otros intervalos de confianza distintos a los definidos por múltiplos de \(\sigma\) (68%, 95% y 99,7%), y se obtienen a través de cuantiles:

\[ [x - z_{crit}\times\sigma/\sqrt(n), x + z_{crit}\times\sigma/\sqrt(n)] \]

Varianza poblacional desconocida

Cuando no conocemos la varianza de la población (la mayor parte de los casos), en lugar de la desviación estándar utilizamos el error estándar

\[ SE = s/\sqrt(n) \]

y en lugar de los valores z utilizamos los valores t de una distribución en t con \(n-1\) grados de liberado, con qt para calcular \(t_{crit}\)

\[ [x - t_{crit}\times\sigma/\sqrt(n), x + t_{crit}\times\sigma/\sqrt(n)] \]